Demonstração da não enumerabilidade de um intervalo na reta
Resumo
Este trabalho apresenta parte dos estudos realizados durante as atividades do Projeto de Pesquisa “Decaimento de soluções de Equações de Meios Porosos com termos advectivos”, o qual, através de pesquisas bibliográficas e seminários ministrados pelos bolsistas com acompanhamento do professor orientador, proporciona aos alunos da Licenciatura em Matemática do IFRS - Campus Canoas um contato com a matemática pura, tendo a finalidade de compreendê-la, não como um amontoado de fórmulas que existem unicamente para serem decoradas, mas como uma ciência exata, construída através de postulados observados e teoremas demonstrados. Dessa forma, o projeto é desenvolvido majoritariamente através de duas atividades:Seminários semanais que abordam duas temáticas principais: um tratando a respeito de Análise na reta e outro sobre Teoria da Medida, ambos ministrados por discentes bolsistas do projeto que conta, atualmente, com 3 discentes participantes (estes seminários ocorrem duas vezes por semana, tendo duração de 1h30min); e uma pesquisa bibliográfica sobre tópicos que são abordados nos seminários.
A partir de tais pesquisas bibliográficas e seminários realizados durante o projeto, trazemos este trabalho que fala a respeito de conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis, tomando por definição de conjunto enumerável um conjunto X que é finito ou quando existir uma bijeção f: ℕ→ X, sendo esse segundo caso dito como infinito enumerável. O objetivo é solidar que o intervalo de números Reais [0,1] é não-enumerável. Para isso, faz-se uso de um teorema sobre intervalos encaixados, que nos diz que dada uma sequência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃...⊃ In⊃... de intervalos limitados e fechados In=[an,bn], existe pelo menos um número real c tal que c∈In para todo n∈ℕ. Além disso, faz-se uma comparação com o conjunto dos números racionais, o qual é enumerável. Para demonstrar tal enumerabilidade, utilizam-se dois teoremas. O primeiro nos traz a propriedade de que todo subconjunto de ℕ é um conjunto enumerável, já segundo teorema mostra que havendo dois conjuntos X,Y enumeráveis, o produto cartesiano X x Y também será enumerável.
