Probabilidade sobre um conjunto infinito

Resumo

Este trabalho apresenta uma aplicação dos estudos realizados através da pesquisa “Decaimento de soluções de equações de meios porosos com termos advectivos”, o qual, através de estudos sobre referências bibliográficas e seminários presenciais busca, em princípio, construir conceitos de ‘Análise e Teoria da Medida de Lebesgue’, a fim de utilizar-se destes conceitos para o embasamento requerido para a compreensão e resolução de problemas relacionados ao tema geral da pesquisa. Neste trabalho, buscaremos abordar a forma de definir uma função de probabilidade num espaço infinito. Probabilidade geralmente é associada com o estudo das chances de obtenção de certo evento aleatório sobre um conjunto de eventos. Esta definição costuma ser aceita como algo intuitivo e axiomático, sem requerer um grande aprofundamento no seu embasamento matemático. O intuito deste trabalho é trazer os axiomas que definem uma função probabilidade e, a partir destes axiomas, explorar regras necessárias para a construção de uma função de probabilidade sobre um espaço amostral (Ω) infinito enumerável. Como exemplo, discutimos qual é a probabilidade de se obter um número racional, ao sortear um número aleatório pertencente ao intervalo [0,1]. Desse modo, um espaço de medida é uma tripla (Ω,F,P) com P uma função com domínio sendo um subconjunto do conjunto das partes de Ω satisfazendo P(E)≥0, para todo E pertencente a σ-álgebra F (espaço de eventos); P(Ω)=1; e a função P aplicada sobre uma união infinita de conjuntos (eventos) disjuntos (independentes) será igual a soma de P aplicada a cada um dos conjuntos dessa união (a probabilidade da união infinita de conjuntos mensuráveis (eventos) é igual ao somatório infinito das probabilidades de cada evento). Outro intuito do presente trabalho é evidenciar que o caso finito segue do que foi exposto, já que ∅∊F e que, pelos próprios axiomas pode-se verificar que P(Ω∪∅∪∅∪...)=P(Ω)=1, por outro lado, P(Ω∪∅∪∅∪...)=P(Ω)+P(∅)+P(∅)+...=1+P(∅)+P(∅)+...=1. Sendo assim, P(∅)=0. Agora, para calcular a função probabilidade sobre uma união finita de conjuntos disjuntos, basta utilizar a união de conjuntos vazios juntamente com a coleção de conjuntos sobre a qual queremos calcular a função probabilidade. Também é possível concluir que P(A)=1-P(Ω\A) a partir destes axiomas. Partindo de demonstrações como essa chegaremos à conclusão de que a probabilidade de se sortear um número aleatório racional no intervalo da reta [0,1] é igual a 0.